BAB II
HIMPUNANAN
Definisi Himpunan
Himpunan ( set ) adalah kumpulan dari obyek-obyek yang berbeda.
Obyek yang terdapat didalam himpunan disebut elemen,unsur atau anggota.
Jika A sebarang himpunan, dan x anggota A maka ditulis . Jika x bukan anggota A, ditulis . Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kososng (empty set/null set), dinotasikan 0x∈A, x∉A/ . Sekarang, jika A dan B himpunan sehingga Berakibat maka dikatakan bahwa A himpunan bagian B, dinotasikanatau . Jika dan terdapat anggota B yang bukan anggota A, maka Adikatakan himpunan bagian sejati dari B.x∈A x∈BA ⊆B B ⊇A A ⊆B.Selanjutnya dua himpunan A dan b sama jika A dan B memuat elemen yang sama,ditulis A=B. Jadi, untuk membuktikan bahwa himpunan A dan B sama, maka harusditunjukkan bahwa A ⊆B dan B ⊆A.Sekarang kembali pada definisi himpunan. Pernyataan ”sifat khusus” padadefinisi himpunan ternyata tidak mudah didefinisikan secara tepat, tetapi kita tidak perluragu menggunakannya. Jika P menyatakan sifat yang mempunyai arti dan kejelasan untukkoleksi elemen-elemen, maka di tulis {x: P(x)} untuk himpunan semua elemen x yangmemenuhi sifat P. Namun, jika kita mengingkan kekhususan yang elemen-elemennyamemenuhi sifat P, maka ditulis {x∈S : P(x)}, untuk himpunan semua elemen x yangmemenuhi sifat P.
Penyajian himpunan
Enumerasi
Jika sebuah himpunan terbatas dan tidak terlalu besar ,kita bisa menyajikan himpunan dengan cara menganumerasi,artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan diantara dua buah tanda kurung kurawal.Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf kapaital maupun dengan menggunakan simbol-simbol lainnya..misalnya himpunan A yang berisi 4 anggota , 1,2,3, dan 4 dapat ditulis sebagai berikut :
A { 1 , 2 ,3 4 }.
Simbol-simbol baku
Beberapa himpunan yang khiusus dituliskan dengan simbol-simbol yang sudah baku.Terdapat sejumlah simbol baku yang berbentuk hurf tebal yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan antara lain :
P : Himpunan bilangan bulat positif { 1 , 2 ,3 ,...}.
N :himpunan bilangan asli { 1 , 2 ... }.
Z :Himpunan bilangan bulat negatiif { ....,- 1 , -2 ,-3,- 4.... }.
Q :Himpunan bilangan rasional
R :Himpunan bilangan riil
C :Himpunan bilangan kompleks
Himpunan yang universal disebut semesta dan disimbolkan dengan U .Himpunan U harus disimbolkan secara ekplisit dan diarahkan berdasarkan pembicaraab.Contoh :
U : { 1 , 2 ,3 ,4,5 } dan A adalah himpunan bagian dari U ,dengan A { 1 ,3 ,5 ...}.
Notasi pembentuk himpunan
Cara lain menyajikan himpunan adalah dengan notasi pembentuk himpunan .Dengan cara penyajian ini himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya .
Notasi { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan :
Bagian dari kiri tanda “ | “ melambangkan elemen himpunan
Tanda “ | “ dibaca dimana atau sedemikian sehingga
Bagian dikana tanda “ | “ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan
Setiap tanda ‘ , ‘ didalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan.
Contoh :
P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}
(Maksudnya P ={8,9,10,11,12,13,14})
Q = { t | t bilangan asli}
(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…
R = { s | s2-1=0, sbilangan real}
(Maksudnya R = {-1,1})
Diagram Venn
Diagram vennmenyajikan himpunan secara grafis.Didalam diagram venn,himpunan semesta (U) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran didalamsegi empat tersebut.Anggota suatu himpuna berada didalam lingkaran,sedangkan anggota himpunan yang lain berada didalam lingkaran yang lain pula.Ada kemungkinan kedua himpunan mempunyai anggota yang sama,dan hal ini digambarkan dengan lingkaran yang saling beririsan.Anggota U yang tidak termasuk anggota himpunan manapun digambarkan diluar lingkaran.
Contoh :
Misalkan U = {1,2,.....,7 },A = {1,2,3,5 },dan B { 2,5,6,8 },ketiiga himpunan tersebut digambarkan dalam diagram venn dibawah ini :
U A B
1 2 8 7
3 5 6 4
Kardinalitas
Definisi 2.2 : sebuah himpunan dikatakan berhingga ( finite set ) jika terdapat n elemen berbeda ( distinct ) yang dalam hal ini n adalah bilangan bulat tak negatif .
Sebaliknya himpunan tersebut dinamakan tak berhingga ( infinite set ).
Misalkan A merupakan himpunan berhingga ,maka jumlah elemen berbeda didalam A disebut kardinal dari himpunan A .
Notasi; ( n (A) atau | A | )
Contoh :
A = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },maka | A | = 8 ,dengan elemen-elemen A adalah 2,3,5,7,11,17,19.
B = { kucing ,a , Amir, 10, paku } maka | B | = 5, dengan elemen-elemen B ( yang berbeda ) adalah kucing,a,Amir,10, paku.
Himpunan yang tiifak berhingga mempunyai kardinal tidak berhingga pula .
Sebagai contoh himounan bilangan real mempunyai jumlah anggota tidak berhingga ,maka | R | = ∞ ,begitu juga himpunan bilangan bulat tak-negatif ,himpunan yang melalui titik pusat koordinat dan lai sebagainya.
Himpunan Kosong
DEFINISI 2.2 : Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal =0 disebut himpunan kosong ( empety set ).
Notasi = ∅ atau {}
Contoh :
E = { x | x < x , maka | E | =0
P = { Orang indonesia yang pernah kebulan },maka p | p | = 0
Himpuna {{}} dapat juga ditulis sebagai { ∅ } begitu pula himpunan { {} ,{ {} } } dapat juga ditulis sebagai { ∅ ,{ ∅ } }.
Himpunan Bagian ( Subset )
Sebuah himpunan dapat merupakan bagian dari himpunan lain. Anggota yang dikandung didalam himpunan tersebut juga terkandung didalam himpounan yang lain .
DEFINISI 2.3 : Himpunan A dikatakan himpunan bagian ( subset ) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B .Dalam hal ini B dikatakan superset dari A.
Notasi : A ⊆ B .
A ⊆ B digambarkan dengan diagram Venn seperti dibawah ini :
B
A
Contoh :
{ 1,2 3 } ⊆ { 1,2,3,4,5 }
{ 1,2,3 } ⊆ { 1,2,3 }
N ⊆Z⊆ R ⊆ C
TEOREMA 2.1 : Untuk sembaran himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut :
A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ⊆ ( ∅⊆A )
Jika A⊆ B dan B⊆C ,maka A ⊆C
Contoh :
Tunjukkan bahwa A { a,b,c } adalah himpunan bagian sebenarnya dari B { a,b,c,d,e,f}
Penyelesaian :
Untuk menunjukkan bahwa A adalah himpunan bagian sebenarnya dari B ,perlihatkan bahwa setiap elemen didalam A juga elemen didalam B dan sekurang-kurangnya ada 1 elemen B yang tidak terdapat didalam A.
Setiap elemen dari A adalah juga elemen dari B sehingga A ⊆ B.Sebaliknya d ⊆ B tetapi d ⊈ A ,oleh karena itu A ⊈ B .Dengan demikian ,A adalah himounan bagian sebenarnya dari B ,kita tuliskan A⊂ B .
Himpuna Yang Sama
Dua buah himpunan mungkin saja sama yaitu semua anggota didalam kedua himpunan tersebut sama,meskipun urutannya didalam himpunan tidak sama.
DEFINISI 2.4. Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama .Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A.Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.
Notasi : A = B ↔ A ⊆B dan A ⊆ B
Contoh :
Jika A : { 0,1 } dan B : { x | x ( x-1 ) = 0 }, maka A = B
Jika A : { 3,5,8,5 } dan B : { 5,3,8 }, maka A = B
Jika A : { 3,5,8,5 } dan B : { 3,8 }, maka A ≠B
Himpunan Yang Ekuivalen
Dua buah himpunan dapat mempunyai kardinal yang sama meskipun anggotanya kedua himpunan tersebut tidak sama .Kita katakan kedua himpunan tersebut ekuivalen.
DEFINISI 2.5 . Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
Notasi : A~ B↔|A| = |B|
Contoh :
Jika A : { 1,3,5,7 } dan B : { a,b,c,d } ,maka : A~ B sebab|A| = |B| = 4
Himpunan Saling Lepas
Dua buah himpunan mungkin saja tidak memiliki anggota yang sama satu buah pu.Kedua himpunan tersebut dikatakan saling lepas ( disjoint ).
DEFINISI 2.6. Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
Notasi : A // B
Diagram Venn yang menunjukkan himpunan yang saling lepas adalah sebagai berikut :
U
A B
Contoh :
Jika A : { x | x ∈ P , x < 8 } dan B : { 10,20,30,....},maka A // B
Himpunan Kuasanan
Himpunan kuasa dari suatu himpunan mengandung semua himpunan bagian dari himpunan yang dimaksud.
DEFINISI 2.7. Himpunan kuasa ( power set ) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A,termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
Notasi : P (A) atau 2A
Contoh :
Jika A : { 1,2 }, maka P (A) = { ∅ , {1},{2},{1,2}}
Himpunan kiasa dari himpunan kosong adalah P (∅) = { ∅} ,dan himpunan kuasa dari himpunan { ∅ } adalah P ( {∅} ) = { ∅ ,{ ∅ }}
Operasi Terhadap Himpunan
Jenis operasi yang lazin digunakan terhadap himpunan adalah operasi irisan ( intersection) ,gabungan ( union ) ,komplemen, selisih ( difference ), perkalian kartesian ( cartesian product ) dan beda – setangkup ( symmetric difference ).
Irisan ( intersection )
DEFINISI 2.8.Irisan ( Intersection ) dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan Himpunan B.
Notasi : A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }.
Diagram Venn untuk A ∩ B adalah sebagai berikut :
U A B
Jika dua himpunan saling lepas maka irisannya adalah himpunan kosong,karena tidak ada elemen yang sama yang terdapat didalam kedua himpunan tersebut.
Contoh :
Jika A = { 2,4,6,8,10 } dan B = { 4,10,14,18 } ,maka A ∩ B = { 4 , 10 }
Jika A = { ( x,y ) | x + y = 10 ,x,y ∈ R } dan B = { ( x,y ) | x – y = 3 ,x,y ∈R },maka A ∩B = { ( 5,2 ) ,yang merupakan titik potong garis x+ y =7 dan x – y = 3.
Jika A = { 3,5,9 } dan B { -2 , 6 } , maka A ∩B=∅ ,artinya A // B.
Gabungan ( Union )
DEFINISI 2.9.Gabungan ( Union ) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau Himpunan B .
Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈B }
Diagram Venn untuk A ∪Badalah :
U A B
Contoh :
Jika A = { 2,5,8 } dan B = { 7,5,22, } , maka A ∪ B = { 2,5,7,8,22, }
Komplemen ( Complemen )
DEFINISI 2.10. Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.
Notasi : Ā = { x | x ∈ U dan x ∈ A }
Diagram Venn untuk Ā adalah :
U
A
Contoh :
Misalkan U = { 1,2,3,....,9 }
Jika A = { 1,3,7,9, } ,maka Ā={ 2,4,6,8 }
Jika A = { x | x / 2 ∈ P,x < 9 } ,maka Ā = { 1,3,5,7,9 }
Selisih ( difference )
DEFINISI .2.11. Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B .Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadapa Himpunan A.
Notasi : A – B = { x | x ∈A dan x ∈B }= A ∩B.
Elemen dari sembarang himpunan A terhadap semesta U dapat juga didefinisikan sebagai Ā = U – A
Diagram venn untuk A – B adalah :
U A B
Beda setangkup ( Symmetric difference )
DEFINISI 2.12.Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B ,tetapi tidak pada keduanya .
Notasi : A + B = ( A ∪ B ) = ( A – B ) ∪( B – A )
Diagram venn untik A + B adalah :
U A B
Cotoh :
Jika A = { 2,4,6 } dan B = { 2,3,5 } ,maka A + B = { 3,4,5,6 } .
Perkalian Kartesian ( cartesian produc )
DEFINISI 2.13. Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.
Notasi : A x B = { (a,b ) | a ∈A dan b ∈B }
Penerapan Operasi Himpunan
Operasi himpunan dapat dilakukan terhadap 2 atau lebih himpunan .Dalam hal ini kita melakukan perampatan operasi himpunan dengan menggunakan dasar perampatan yang ada pada operasi aritmatika biasa .
Misalkan :
A1,A2,A3,...An merupakan himpunan ,maka :
A1 ∩A2 ∩A3 ∩….An= ⋂_(i=1)^n▒A_i
A1∪A2 ∪A3 ∪……An= ⋃_(i=1)^n▒A_i
A1 × A2 × A3 × .........An = 〖×i〗_(i=1)^n Ai
A1 + A2 + A3 + ............An = +_(i=1)^n Ai
Contoh 1 :
A1 = { 0,2,3 }
A2 = { 1,2,3,6 }
A3 = { -1,0,3,9, }
Maka :
⋂_(i=1)^3▒A_i = {3} dan ⋃_(i=1)^n▒A_i = { -1,0,1,2,3,6,9, }
Contoh 2 :
Misalnya A = { 1,2 } ,B { a,b } ,dan C { α,β } ,maka
A x B x C = { (1,a,α ),( 1,a,β),( 1,b,α),( 1,b,)β,( 2,a,α),( 2,a,β),( 2,b,α),( 2,b,β )
Hukum –Hukum Aljabar Himpunan
Terdapat beberapa sifat yang berlaku pada operasi antara dua himpunan atau lebih.Sifst-sifat terdebut dinyatakan dalam kesamaan himpunan ( set identitis ) .
Kesamaan tersebut diberi nama “ hukum “ yang menyatakan bahwa bila dua himpunan atau lebih dioperasikan maka hukum-hukum yang mengatur operasi tersebut berlaku.
Tabel hukum-hukum Aljabar Himpunan :
Hukum Idenitas
A ∪ ∅ = A
A ∩ U=A Hukum Null/dominasi
A ∩∅=A
A ∪ U = A
Hukum Koplemen:
A ∪Ā = U
A ∩Ā = ∅ Hukum Idempoten :
A ∪A=A
A ∩A=A
Hukum involusi :
( A ̿ ) = A Hukum Penyerapan ( absorpsi )
A ∪( A ∩B )=A
A ∩( A ∪B )= A
Hukum Komutatif
A ∪B=B ∪A
A ∩B=B ∩A Hukum asosiatif :
A ∪( B ∪C )=( A ∪B )∪C
A ∩( B ∩C )=( A ∩B )∩C
Hukum Distributif :
A ∪( B ∩C )=( A ∪B )∩( A ∪C )
A ∩( B ∪C )= ( A ∩B )∪( A ∩C ) Hukum De Morgan :
(A ∩B ) ̅ = (A ) ̅∪ B ̅
(A ∪B ) ̅ = A ̅∩B ̅
Hukum 0/1 ( atau huklum koplemen 2)
∅ ̅ = U
(U ) ̅ = ∅
Prinsip Dualitas
Prinsip dualitas banyak ditemukan pada beberapa situasi .Prinsip ini menyatakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.
DEFINISI 2.14. ( Prinsip Dualitas Pada Himpunan ) .Misalkan S adalah suatu kesmaan yang melibatkan himpunan ( set identiti ) dan operasi-operasi seperti ∪ ,∩,dankoplemen.Jika S^⃰ diperoleh dari S dengan mengganti ∪menjadi∩,∩ menjadi ∪ , ∅ menjadi U ,dan U menjadi ∅ ,sedangkan komplemen dibiarkan menjadi seperti semula ,maka kesamaan S^⃰ juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
Tabel Dualitas Dari Hukum-Hukum Aljabar Himpunan :
Hukum identitas
A ∪ ∅ = A Dualnya :
A ∩ U = A
Hukum Null / Dominasi:
A ∩∅ = ∅ Dualnya :
A ∪ U = U
Hukum Koplemen
A ∪Ā = U Dualnya :
A ∩Ā = ∅
Hukum idempote
A ∪A=A Duaalnya :
A ∩A=A
Hukum penyerapan
A ∪ ( A ∩B )=A Dualnya :
A ∩( A ∪B )= A
Hukum Komutatif
A ∪B=B ∪A Dualnya :
A ∩B=B ∩A
Hukum Asoaiatif
A ∪(B∪C)=( A ∪B )∪C Dualnya :
A ∩( B ∩C )=( A ∩B )∩C
Hukum distributif
A ∪( B ∩C )=( A ∪B )∩( A ∪ ) Dualnya :
A ∩( B ∪C )=( A ∩B )∪( A ∩C )
Hukum De morgan
(A ∪B ) ̅ = A ̅∩ B ̅ Dualnya :
(A ∩B ) ̅ = A ̅∪ B ̅
Hukum 0/1
∅ ̅ = U Dualnya :
(U ) ̅ = ∅
Prinsip Inklusi – Eksklusi
Penggabungan dua buah hipunan menghasilkan himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari himpunan A dan himpunan B.Himpunan A dan himpunan B mungkin memiliki elemen-elemen yang sama ,banyaknya elemen bersama antara S dan B adalah | A∩B|. Setiap unsur yang sama itu telah dihitung dua kali ,sekali pada | A | dan sekali pada | B | ,meskipun seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen didalam | A ∪B | .Karena itu,jumlah elemen hasil penggabungan seharusnya adalah jumlah elemen dimasing-masing himpunan dikurangi dengan jumlah elemen didalam irisannya ,atau :
| A ∪B| = |A| + | B | - |A ∩B|
Prinsip ini dikenal dengan nama prinsip inklusi-eksklusi.Sejumlah lemma dan teorema yang berkaitan dengan prinsip ini dituliskan sebagai berikut :
LEMMA 2.1 .Misalkan A dan B himpunan berhingga yang saling lepas ( disjoint ) maka | A ∪B| = |A | + | B |
TEOREMA 2.3 .Misalkan A dan B adalah himpunan berhingga ,maka | A ∪B| berhingga dan |A ∪B|= |A| + | B|-| A∩|
Dengan cara yang sama ,maka dapat dihitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup ,yaitu | A + B | = |A| + |B| - 2 | A ∩B| .
Contoh :
Misalkan :
A = Himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B = Himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A ∩B= himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5( yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK dari 3 dan 5 )
Yang ditanyakan adalah | A ∪B|
Terlebih dahulu harus dihitung
|A| = [100/3] = 33,
|B| = [100/5] = 20
| A ∩B| = 100/15 = 6
Unttuk mendapatkan
| A ∪B| = |A| + |B| - | A ∩B| = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi ada 47 buah bilangan yang habis dibagi oleh 3 atau 5.
TEOREMA 2.4. Misalkan A,B dan C adalah himpunan berhingga,maka | A ∪ B∪| berhingga dan
| A ∪B∪C | = |A| + |B| +| C |- | A ∩ B | -| A∩ C| - | B∩ C | - | +| A∩ B ∩C |
Partisi
DEFINISI 2.15. Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1,A2,....dari A sedemikian sehingga:
A1 ∪A2 .... = A ,dan
Himpunan bagian A ,saling lepas ,yaitu A ∩B = ∅ ,untuk i ≠j
Pembuktian Proposisi Himpunan
Proposisi himpunan adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan.Pernyataan dapat berupa kesamaan,misalnya “
A ∩(B∩C)=(A∩B)∪(A∩C) adalah sebuah kesamaan himpunan,atu dapat berupa implikasi seperti “ jika A ∩B= ∅ dan A ⊆ ( B ∪C ) maka selalu berlaku bahwa A ⊆ C “.
Beberapa metode yang digunakan untuk membuktikan kebenaran proposisi himpunan ,antara lain :
Pembuktian dengan menggunakan diagram venn
Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan
Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan
Pembuktian dengan menggunakan definisi
Himpunan Ganda
Himpunan yang elemennya boleh berulang ( tidak harus berbeda ) disebut himpunan ganda ( multi set ) .contohnya : { a,a,a,b,b,c, } ,{ 2,2,2 } ,{2,3,4},{ } adalah himpunan ganda.
Definisi operasi pada himpunan ganda adalah sebagai berikut :
DEFINISI 2.16. Misalkan P dan Q adalah himpunan ganda :
P ∪Qadalah suatu himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum maksimumelemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh :
Jika P = { a,a,a,c,d,d } dan Q = { a,a,b,c,c },maka P ∪Q= ( a,a,a,b,cc,dd, }
P ∩ Q adalah suatu himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh :
Jika P = { a,a,a,c,d,d } dan Q = { a,a,b,c,c } ,maka P ∩Q={a,a,c}
P – Q adalah suatu himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan
Multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q ,jika selisihnya positif.
0,jika selisihnya nol atau negatif.
Contoh :
Jika P { a,a,a,b,b,c,d,d,e } dan Q { a,a,b,b,b,c,c,d,d,f } maka P – Q =
{ a,e }
P + Q ,yang didefinisikan sebagai jumlah ( sum ) dua buah himpunan ganda ,adalah suatu himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multi plisitas elemen tersebut pada P dan Q .
contoh :
Jika P = { a,a,b,c,c } dan Q { a,b,b,d, } maka P + Q = { a,a,a,b,b,c,c,d }
HIMPUNANAN
Definisi Himpunan
Himpunan ( set ) adalah kumpulan dari obyek-obyek yang berbeda.
Obyek yang terdapat didalam himpunan disebut elemen,unsur atau anggota.
Jika A sebarang himpunan, dan x anggota A maka ditulis . Jika x bukan anggota A, ditulis . Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kososng (empty set/null set), dinotasikan 0x∈A, x∉A/ . Sekarang, jika A dan B himpunan sehingga Berakibat maka dikatakan bahwa A himpunan bagian B, dinotasikanatau . Jika dan terdapat anggota B yang bukan anggota A, maka Adikatakan himpunan bagian sejati dari B.x∈A x∈BA ⊆B B ⊇A A ⊆B.Selanjutnya dua himpunan A dan b sama jika A dan B memuat elemen yang sama,ditulis A=B. Jadi, untuk membuktikan bahwa himpunan A dan B sama, maka harusditunjukkan bahwa A ⊆B dan B ⊆A.Sekarang kembali pada definisi himpunan. Pernyataan ”sifat khusus” padadefinisi himpunan ternyata tidak mudah didefinisikan secara tepat, tetapi kita tidak perluragu menggunakannya. Jika P menyatakan sifat yang mempunyai arti dan kejelasan untukkoleksi elemen-elemen, maka di tulis {x: P(x)} untuk himpunan semua elemen x yangmemenuhi sifat P. Namun, jika kita mengingkan kekhususan yang elemen-elemennyamemenuhi sifat P, maka ditulis {x∈S : P(x)}, untuk himpunan semua elemen x yangmemenuhi sifat P.
Penyajian himpunan
Enumerasi
Jika sebuah himpunan terbatas dan tidak terlalu besar ,kita bisa menyajikan himpunan dengan cara menganumerasi,artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan diantara dua buah tanda kurung kurawal.Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf kapaital maupun dengan menggunakan simbol-simbol lainnya..misalnya himpunan A yang berisi 4 anggota , 1,2,3, dan 4 dapat ditulis sebagai berikut :
A { 1 , 2 ,3 4 }.
Simbol-simbol baku
Beberapa himpunan yang khiusus dituliskan dengan simbol-simbol yang sudah baku.Terdapat sejumlah simbol baku yang berbentuk hurf tebal yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan antara lain :
P : Himpunan bilangan bulat positif { 1 , 2 ,3 ,...}.
N :himpunan bilangan asli { 1 , 2 ... }.
Z :Himpunan bilangan bulat negatiif { ....,- 1 , -2 ,-3,- 4.... }.
Q :Himpunan bilangan rasional
R :Himpunan bilangan riil
C :Himpunan bilangan kompleks
Himpunan yang universal disebut semesta dan disimbolkan dengan U .Himpunan U harus disimbolkan secara ekplisit dan diarahkan berdasarkan pembicaraab.Contoh :
U : { 1 , 2 ,3 ,4,5 } dan A adalah himpunan bagian dari U ,dengan A { 1 ,3 ,5 ...}.
Notasi pembentuk himpunan
Cara lain menyajikan himpunan adalah dengan notasi pembentuk himpunan .Dengan cara penyajian ini himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya .
Notasi { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan :
Bagian dari kiri tanda “ | “ melambangkan elemen himpunan
Tanda “ | “ dibaca dimana atau sedemikian sehingga
Bagian dikana tanda “ | “ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan
Setiap tanda ‘ , ‘ didalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan.
Contoh :
P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}
(Maksudnya P ={8,9,10,11,12,13,14})
Q = { t | t bilangan asli}
(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…
R = { s | s2-1=0, sbilangan real}
(Maksudnya R = {-1,1})
Diagram Venn
Diagram vennmenyajikan himpunan secara grafis.Didalam diagram venn,himpunan semesta (U) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran didalamsegi empat tersebut.Anggota suatu himpuna berada didalam lingkaran,sedangkan anggota himpunan yang lain berada didalam lingkaran yang lain pula.Ada kemungkinan kedua himpunan mempunyai anggota yang sama,dan hal ini digambarkan dengan lingkaran yang saling beririsan.Anggota U yang tidak termasuk anggota himpunan manapun digambarkan diluar lingkaran.
Contoh :
Misalkan U = {1,2,.....,7 },A = {1,2,3,5 },dan B { 2,5,6,8 },ketiiga himpunan tersebut digambarkan dalam diagram venn dibawah ini :
U A B
1 2 8 7
3 5 6 4
Kardinalitas
Definisi 2.2 : sebuah himpunan dikatakan berhingga ( finite set ) jika terdapat n elemen berbeda ( distinct ) yang dalam hal ini n adalah bilangan bulat tak negatif .
Sebaliknya himpunan tersebut dinamakan tak berhingga ( infinite set ).
Misalkan A merupakan himpunan berhingga ,maka jumlah elemen berbeda didalam A disebut kardinal dari himpunan A .
Notasi; ( n (A) atau | A | )
Contoh :
A = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },maka | A | = 8 ,dengan elemen-elemen A adalah 2,3,5,7,11,17,19.
B = { kucing ,a , Amir, 10, paku } maka | B | = 5, dengan elemen-elemen B ( yang berbeda ) adalah kucing,a,Amir,10, paku.
Himpunan yang tiifak berhingga mempunyai kardinal tidak berhingga pula .
Sebagai contoh himounan bilangan real mempunyai jumlah anggota tidak berhingga ,maka | R | = ∞ ,begitu juga himpunan bilangan bulat tak-negatif ,himpunan yang melalui titik pusat koordinat dan lai sebagainya.
Himpunan Kosong
DEFINISI 2.2 : Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal =0 disebut himpunan kosong ( empety set ).
Notasi = ∅ atau {}
Contoh :
E = { x | x < x , maka | E | =0
P = { Orang indonesia yang pernah kebulan },maka p | p | = 0
Himpuna {{}} dapat juga ditulis sebagai { ∅ } begitu pula himpunan { {} ,{ {} } } dapat juga ditulis sebagai { ∅ ,{ ∅ } }.
Himpunan Bagian ( Subset )
Sebuah himpunan dapat merupakan bagian dari himpunan lain. Anggota yang dikandung didalam himpunan tersebut juga terkandung didalam himpounan yang lain .
DEFINISI 2.3 : Himpunan A dikatakan himpunan bagian ( subset ) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B .Dalam hal ini B dikatakan superset dari A.
Notasi : A ⊆ B .
A ⊆ B digambarkan dengan diagram Venn seperti dibawah ini :
B
A
Contoh :
{ 1,2 3 } ⊆ { 1,2,3,4,5 }
{ 1,2,3 } ⊆ { 1,2,3 }
N ⊆Z⊆ R ⊆ C
TEOREMA 2.1 : Untuk sembaran himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut :
A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ⊆ ( ∅⊆A )
Jika A⊆ B dan B⊆C ,maka A ⊆C
Contoh :
Tunjukkan bahwa A { a,b,c } adalah himpunan bagian sebenarnya dari B { a,b,c,d,e,f}
Penyelesaian :
Untuk menunjukkan bahwa A adalah himpunan bagian sebenarnya dari B ,perlihatkan bahwa setiap elemen didalam A juga elemen didalam B dan sekurang-kurangnya ada 1 elemen B yang tidak terdapat didalam A.
Setiap elemen dari A adalah juga elemen dari B sehingga A ⊆ B.Sebaliknya d ⊆ B tetapi d ⊈ A ,oleh karena itu A ⊈ B .Dengan demikian ,A adalah himounan bagian sebenarnya dari B ,kita tuliskan A⊂ B .
Himpuna Yang Sama
Dua buah himpunan mungkin saja sama yaitu semua anggota didalam kedua himpunan tersebut sama,meskipun urutannya didalam himpunan tidak sama.
DEFINISI 2.4. Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama .Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A.Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.
Notasi : A = B ↔ A ⊆B dan A ⊆ B
Contoh :
Jika A : { 0,1 } dan B : { x | x ( x-1 ) = 0 }, maka A = B
Jika A : { 3,5,8,5 } dan B : { 5,3,8 }, maka A = B
Jika A : { 3,5,8,5 } dan B : { 3,8 }, maka A ≠B
Himpunan Yang Ekuivalen
Dua buah himpunan dapat mempunyai kardinal yang sama meskipun anggotanya kedua himpunan tersebut tidak sama .Kita katakan kedua himpunan tersebut ekuivalen.
DEFINISI 2.5 . Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
Notasi : A~ B↔|A| = |B|
Contoh :
Jika A : { 1,3,5,7 } dan B : { a,b,c,d } ,maka : A~ B sebab|A| = |B| = 4
Himpunan Saling Lepas
Dua buah himpunan mungkin saja tidak memiliki anggota yang sama satu buah pu.Kedua himpunan tersebut dikatakan saling lepas ( disjoint ).
DEFINISI 2.6. Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
Notasi : A // B
Diagram Venn yang menunjukkan himpunan yang saling lepas adalah sebagai berikut :
U
A B
Contoh :
Jika A : { x | x ∈ P , x < 8 } dan B : { 10,20,30,....},maka A // B
Himpunan Kuasanan
Himpunan kuasa dari suatu himpunan mengandung semua himpunan bagian dari himpunan yang dimaksud.
DEFINISI 2.7. Himpunan kuasa ( power set ) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A,termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
Notasi : P (A) atau 2A
Contoh :
Jika A : { 1,2 }, maka P (A) = { ∅ , {1},{2},{1,2}}
Himpunan kiasa dari himpunan kosong adalah P (∅) = { ∅} ,dan himpunan kuasa dari himpunan { ∅ } adalah P ( {∅} ) = { ∅ ,{ ∅ }}
Operasi Terhadap Himpunan
Jenis operasi yang lazin digunakan terhadap himpunan adalah operasi irisan ( intersection) ,gabungan ( union ) ,komplemen, selisih ( difference ), perkalian kartesian ( cartesian product ) dan beda – setangkup ( symmetric difference ).
Irisan ( intersection )
DEFINISI 2.8.Irisan ( Intersection ) dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan Himpunan B.
Notasi : A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }.
Diagram Venn untuk A ∩ B adalah sebagai berikut :
U A B
Jika dua himpunan saling lepas maka irisannya adalah himpunan kosong,karena tidak ada elemen yang sama yang terdapat didalam kedua himpunan tersebut.
Contoh :
Jika A = { 2,4,6,8,10 } dan B = { 4,10,14,18 } ,maka A ∩ B = { 4 , 10 }
Jika A = { ( x,y ) | x + y = 10 ,x,y ∈ R } dan B = { ( x,y ) | x – y = 3 ,x,y ∈R },maka A ∩B = { ( 5,2 ) ,yang merupakan titik potong garis x+ y =7 dan x – y = 3.
Jika A = { 3,5,9 } dan B { -2 , 6 } , maka A ∩B=∅ ,artinya A // B.
Gabungan ( Union )
DEFINISI 2.9.Gabungan ( Union ) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau Himpunan B .
Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈B }
Diagram Venn untuk A ∪Badalah :
U A B
Contoh :
Jika A = { 2,5,8 } dan B = { 7,5,22, } , maka A ∪ B = { 2,5,7,8,22, }
Komplemen ( Complemen )
DEFINISI 2.10. Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.
Notasi : Ā = { x | x ∈ U dan x ∈ A }
Diagram Venn untuk Ā adalah :
U
A
Contoh :
Misalkan U = { 1,2,3,....,9 }
Jika A = { 1,3,7,9, } ,maka Ā={ 2,4,6,8 }
Jika A = { x | x / 2 ∈ P,x < 9 } ,maka Ā = { 1,3,5,7,9 }
Selisih ( difference )
DEFINISI .2.11. Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B .Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadapa Himpunan A.
Notasi : A – B = { x | x ∈A dan x ∈B }= A ∩B.
Elemen dari sembarang himpunan A terhadap semesta U dapat juga didefinisikan sebagai Ā = U – A
Diagram venn untuk A – B adalah :
U A B
Beda setangkup ( Symmetric difference )
DEFINISI 2.12.Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B ,tetapi tidak pada keduanya .
Notasi : A + B = ( A ∪ B ) = ( A – B ) ∪( B – A )
Diagram venn untik A + B adalah :
U A B
Cotoh :
Jika A = { 2,4,6 } dan B = { 2,3,5 } ,maka A + B = { 3,4,5,6 } .
Perkalian Kartesian ( cartesian produc )
DEFINISI 2.13. Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.
Notasi : A x B = { (a,b ) | a ∈A dan b ∈B }
Penerapan Operasi Himpunan
Operasi himpunan dapat dilakukan terhadap 2 atau lebih himpunan .Dalam hal ini kita melakukan perampatan operasi himpunan dengan menggunakan dasar perampatan yang ada pada operasi aritmatika biasa .
Misalkan :
A1,A2,A3,...An merupakan himpunan ,maka :
A1 ∩A2 ∩A3 ∩….An= ⋂_(i=1)^n▒A_i
A1∪A2 ∪A3 ∪……An= ⋃_(i=1)^n▒A_i
A1 × A2 × A3 × .........An = 〖×i〗_(i=1)^n Ai
A1 + A2 + A3 + ............An = +_(i=1)^n Ai
Contoh 1 :
A1 = { 0,2,3 }
A2 = { 1,2,3,6 }
A3 = { -1,0,3,9, }
Maka :
⋂_(i=1)^3▒A_i = {3} dan ⋃_(i=1)^n▒A_i = { -1,0,1,2,3,6,9, }
Contoh 2 :
Misalnya A = { 1,2 } ,B { a,b } ,dan C { α,β } ,maka
A x B x C = { (1,a,α ),( 1,a,β),( 1,b,α),( 1,b,)β,( 2,a,α),( 2,a,β),( 2,b,α),( 2,b,β )
Hukum –Hukum Aljabar Himpunan
Terdapat beberapa sifat yang berlaku pada operasi antara dua himpunan atau lebih.Sifst-sifat terdebut dinyatakan dalam kesamaan himpunan ( set identitis ) .
Kesamaan tersebut diberi nama “ hukum “ yang menyatakan bahwa bila dua himpunan atau lebih dioperasikan maka hukum-hukum yang mengatur operasi tersebut berlaku.
Tabel hukum-hukum Aljabar Himpunan :
Hukum Idenitas
A ∪ ∅ = A
A ∩ U=A Hukum Null/dominasi
A ∩∅=A
A ∪ U = A
Hukum Koplemen:
A ∪Ā = U
A ∩Ā = ∅ Hukum Idempoten :
A ∪A=A
A ∩A=A
Hukum involusi :
( A ̿ ) = A Hukum Penyerapan ( absorpsi )
A ∪( A ∩B )=A
A ∩( A ∪B )= A
Hukum Komutatif
A ∪B=B ∪A
A ∩B=B ∩A Hukum asosiatif :
A ∪( B ∪C )=( A ∪B )∪C
A ∩( B ∩C )=( A ∩B )∩C
Hukum Distributif :
A ∪( B ∩C )=( A ∪B )∩( A ∪C )
A ∩( B ∪C )= ( A ∩B )∪( A ∩C ) Hukum De Morgan :
(A ∩B ) ̅ = (A ) ̅∪ B ̅
(A ∪B ) ̅ = A ̅∩B ̅
Hukum 0/1 ( atau huklum koplemen 2)
∅ ̅ = U
(U ) ̅ = ∅
Prinsip Dualitas
Prinsip dualitas banyak ditemukan pada beberapa situasi .Prinsip ini menyatakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.
DEFINISI 2.14. ( Prinsip Dualitas Pada Himpunan ) .Misalkan S adalah suatu kesmaan yang melibatkan himpunan ( set identiti ) dan operasi-operasi seperti ∪ ,∩,dankoplemen.Jika S^⃰ diperoleh dari S dengan mengganti ∪menjadi∩,∩ menjadi ∪ , ∅ menjadi U ,dan U menjadi ∅ ,sedangkan komplemen dibiarkan menjadi seperti semula ,maka kesamaan S^⃰ juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
Tabel Dualitas Dari Hukum-Hukum Aljabar Himpunan :
Hukum identitas
A ∪ ∅ = A Dualnya :
A ∩ U = A
Hukum Null / Dominasi:
A ∩∅ = ∅ Dualnya :
A ∪ U = U
Hukum Koplemen
A ∪Ā = U Dualnya :
A ∩Ā = ∅
Hukum idempote
A ∪A=A Duaalnya :
A ∩A=A
Hukum penyerapan
A ∪ ( A ∩B )=A Dualnya :
A ∩( A ∪B )= A
Hukum Komutatif
A ∪B=B ∪A Dualnya :
A ∩B=B ∩A
Hukum Asoaiatif
A ∪(B∪C)=( A ∪B )∪C Dualnya :
A ∩( B ∩C )=( A ∩B )∩C
Hukum distributif
A ∪( B ∩C )=( A ∪B )∩( A ∪ ) Dualnya :
A ∩( B ∪C )=( A ∩B )∪( A ∩C )
Hukum De morgan
(A ∪B ) ̅ = A ̅∩ B ̅ Dualnya :
(A ∩B ) ̅ = A ̅∪ B ̅
Hukum 0/1
∅ ̅ = U Dualnya :
(U ) ̅ = ∅
Prinsip Inklusi – Eksklusi
Penggabungan dua buah hipunan menghasilkan himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari himpunan A dan himpunan B.Himpunan A dan himpunan B mungkin memiliki elemen-elemen yang sama ,banyaknya elemen bersama antara S dan B adalah | A∩B|. Setiap unsur yang sama itu telah dihitung dua kali ,sekali pada | A | dan sekali pada | B | ,meskipun seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen didalam | A ∪B | .Karena itu,jumlah elemen hasil penggabungan seharusnya adalah jumlah elemen dimasing-masing himpunan dikurangi dengan jumlah elemen didalam irisannya ,atau :
| A ∪B| = |A| + | B | - |A ∩B|
Prinsip ini dikenal dengan nama prinsip inklusi-eksklusi.Sejumlah lemma dan teorema yang berkaitan dengan prinsip ini dituliskan sebagai berikut :
LEMMA 2.1 .Misalkan A dan B himpunan berhingga yang saling lepas ( disjoint ) maka | A ∪B| = |A | + | B |
TEOREMA 2.3 .Misalkan A dan B adalah himpunan berhingga ,maka | A ∪B| berhingga dan |A ∪B|= |A| + | B|-| A∩|
Dengan cara yang sama ,maka dapat dihitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup ,yaitu | A + B | = |A| + |B| - 2 | A ∩B| .
Contoh :
Misalkan :
A = Himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B = Himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A ∩B= himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5( yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK dari 3 dan 5 )
Yang ditanyakan adalah | A ∪B|
Terlebih dahulu harus dihitung
|A| = [100/3] = 33,
|B| = [100/5] = 20
| A ∩B| = 100/15 = 6
Unttuk mendapatkan
| A ∪B| = |A| + |B| - | A ∩B| = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi ada 47 buah bilangan yang habis dibagi oleh 3 atau 5.
TEOREMA 2.4. Misalkan A,B dan C adalah himpunan berhingga,maka | A ∪ B∪| berhingga dan
| A ∪B∪C | = |A| + |B| +| C |- | A ∩ B | -| A∩ C| - | B∩ C | - | +| A∩ B ∩C |
Partisi
DEFINISI 2.15. Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1,A2,....dari A sedemikian sehingga:
A1 ∪A2 .... = A ,dan
Himpunan bagian A ,saling lepas ,yaitu A ∩B = ∅ ,untuk i ≠j
Pembuktian Proposisi Himpunan
Proposisi himpunan adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan.Pernyataan dapat berupa kesamaan,misalnya “
A ∩(B∩C)=(A∩B)∪(A∩C) adalah sebuah kesamaan himpunan,atu dapat berupa implikasi seperti “ jika A ∩B= ∅ dan A ⊆ ( B ∪C ) maka selalu berlaku bahwa A ⊆ C “.
Beberapa metode yang digunakan untuk membuktikan kebenaran proposisi himpunan ,antara lain :
Pembuktian dengan menggunakan diagram venn
Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan
Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan
Pembuktian dengan menggunakan definisi
Himpunan Ganda
Himpunan yang elemennya boleh berulang ( tidak harus berbeda ) disebut himpunan ganda ( multi set ) .contohnya : { a,a,a,b,b,c, } ,{ 2,2,2 } ,{2,3,4},{ } adalah himpunan ganda.
Definisi operasi pada himpunan ganda adalah sebagai berikut :
DEFINISI 2.16. Misalkan P dan Q adalah himpunan ganda :
P ∪Qadalah suatu himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum maksimumelemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh :
Jika P = { a,a,a,c,d,d } dan Q = { a,a,b,c,c },maka P ∪Q= ( a,a,a,b,cc,dd, }
P ∩ Q adalah suatu himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh :
Jika P = { a,a,a,c,d,d } dan Q = { a,a,b,c,c } ,maka P ∩Q={a,a,c}
P – Q adalah suatu himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan
Multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q ,jika selisihnya positif.
0,jika selisihnya nol atau negatif.
Contoh :
Jika P { a,a,a,b,b,c,d,d,e } dan Q { a,a,b,b,b,c,c,d,d,f } maka P – Q =
{ a,e }
P + Q ,yang didefinisikan sebagai jumlah ( sum ) dua buah himpunan ganda ,adalah suatu himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multi plisitas elemen tersebut pada P dan Q .
contoh :
Jika P = { a,a,b,c,c } dan Q { a,b,b,d, } maka P + Q = { a,a,a,b,b,c,c,d }
Tidak ada komentar:
Posting Komentar