Latar Belakang
Logika tradisional adalah logika yang mempelajari hanya sebagai bagian dari metode filsafat. Sementara logika simbolik adalah logika yang dipelajari untuk membangun keterampilan penalaran ilmiah. Dalam percakapan sehari-hari, kata logika berarti “menurut akal”. Ungkapan yang sering kita dengar seperti : “alasan yang dikemukakannya itu logis”. Sedangkan sebagai istilah, logika berarti suatu metode atau teknik yang digunakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Ketepatan penalaran adalah kemampuan untuk menarik konklusi (kesimpulan) yang tepat dari bukti-bukti yang ada.
Logika merupakan studi penalaran, secara membahas apakah suatu penalaran benar. Logika berfokus pada hubungan antara pernyataan-pernyataan yang dipertentangkan dengan isi pernyataan tertentu. Penalaran adalah suatu bentuk pemikiran. Bentuk-bentuk pemikiran, mulai dari yang paling sederhana adalah : (1) pengertian atau konsep; (2) proposisi atau pernyataan; dan (3) penalaran.
Tujuan
Mahasiswa memahami dan mampu mengembangkan kalimat, mengevaluasi kalimat.
Mahasiswa memahami dan mampu Memahami pengertian proposisi.
Mahasiswa memahami kuantor, tabel kebenaran.
BAB II
PEMBAHASAN
PERNYATAAN DAN KALIMAT MATEMATIKA
Ketika seorang ahli matematikan akan membuktikan atau memutuskan situasi yang dihadapi, maka ia harus menggunakan sistem logika. Demikian pula hanya dengan para programer komputer, tidak lepas dari kaidah-kaidah logika.
Logika adalah suatu metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Penalaran adalah suatu bentuk pemikiran yang masuk akal. Untuk menyampaikan pemikiran tersebut seseorang menggunakan kalimat. Banyak bentuk kalimat dalam kehidupan sehari-hari. Namun dalam matematika hanya akan dipelajari kalimat yang mempunyai arti saja, yaitu :
Kalimat pernyataan
Kalimat terbuka
Kalimat bukan pernyataan
Contoh 1:
Gunung Krakatau terletak di Jawa Barat (pernyataan)
Lima adalah bilangan genap (pernyataan)
X adalah bilaangan kuadrat (kalimat terbuka)
2 + a = 10 (kalimat terbuka)
Mari kita pergi bersama-sama (bukan pernyataan)
Wah cantik sekali gadis itu (bukan pernyataan)
Pernyataan (Proposisi)
Ayam jantan itu berkokok.
Pada proposisi di atas :
Ada pengertian yang menerapkan tentang pengertian lain.
“Berkokok” menerangkan tentang “ayam jantang”. Pengertian menerangkan disebut predikat Pdan pengertian yang diterangkan disebut subyek S.
S : ayam jantan ; P : berkokok
Jika kata “itu” atau fungsi yang menerangkan itu diberi tanda = maaka pola proposisi itu ditulis: S=P
Kalau terjadi pengingkaran, maka proposisi yang terbentuk: “ ayam jantan itu tidak berkokok”, dan pola proposisinya: S ≠ P.
Apabila pada proposisi di atas terjadi pengakuan bahwa ayam jantan itu memang berkokok, atau ayam jantan itu tidak berkokok, berarti “memang benar ayam jantan itu berkokok” atau tidak berkokok.
Jadi, jelas bahwa proposisi (pernyataan) memiliki sifat benar atau salah.
Definisi : pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar atau salah.
Proposisi yang berdasarkan obserfasi (data) empirik, disebut proposisi empirik. Sedangkan proposisi mutlak, yaitu sifat kebenaran atau kesalahannya langsung di terima oleh pemikiran kita. Misalnya: air mendidih suhu 100C (proposisi empirik) dan janda adalah wanita yang pernah kawin (proposisi mutlak).
Nilai kebenaran suatu pernyataan tergantung pada kebenaran atau ketidak kebenaran realitas yang dinyatakannya. Kebenaran berdasarkan realitas disebut kebenaran faktual. Sedangkan benar atau salahnya suatu pernyatan disebut nilai kebenaran pernyataan itu.
Contoh 2:
Rasa air laut asin.
Putri memakai sepatu
2 adalah bilanga prima.
Jakarta terletak di pulau jawa dan ibu kota RI
Contoh 2a, 2b, dan 2c adalah pertanyaan yang hanya menyatakan pemikiran tunggal, sedangkan contoh 2d adalah pertanyaan majemuk.
Pernyataan yang menyatakan pikiran tunggal disebut pernyataan sederhana, sedangkan pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan sederhana dengan bermacam-macan kata hubung disebut pernyataan majemuk.
Lambang-lambang yang umumnya dipakai untuk menyatakan suatu pernyataan dalam logika adalah :
Huruf, p, q, r, … untuk menyatakan suatu pernyataan.
Contoh 3:
p: hari ini cerah
q: 2 + 3 = 5
B, T, atau 1 untuk menyatakan nilai benar.
S, F, atau 0 untuk menyatakan
Kalimat Terbuka, Peubah (Variabel), Konstanta, dan Penyelesaian Kalimat Terbuka (Pengulangan).
pengertian:
Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat fariabel dan menjadi pernyataan jika fariabel tersebut di ganti kostanta dari himpunan semesta.
Contoh 4
Kotak P merupakan daerah pariwisata.
2 + x = 8
Variabel adalah lambang untuk menunjukan anggota sebarang dari himpunan semesta.
Contoh 5:
+ 6 = 1 ( adalah variabel)
x – 2 = 5 (x adalah variabel)
Konstanta adalah lambang untuk menunjukan anggota tertentu dalam himpunan semesta.
Contoh 6 :
Rumah … di Bandung
Jika … diganti dengan Putri maka Putri disebut konstanta dalam himpunan semesta manusia. Kebenaran pernyataan “Rumah Putri di Bandung” tergantung pada realitasnya.
x – 2 = 5
Jika x diganti dengan 7 maka pernyataan 7 – 2 = 5 bernilai benar dan 7 disebut konstanta.
Himpunan Penyelesaian suatu Kalimat Terbuka
Untuk memahami himpunan penyelesaian suatu kalimat terbuka, perhatikanlah contoh-contoh berikut ini.
Contoh 7 :
2x – 1 < 5; x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Kalimat tersebut menjadi pernyataan yang benar jika x diganti 0, 1, dan 2.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 1, 2}.
Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa :
Penyelesaian suatu kalimat terbuka adalah konstanta-konstanta pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan yang benar.
Himpunan yang memuat semua penyelesaian yang mungkin disebut himpunan penyelesaian.
SISTEM LAMBANG LOGIKA PROPOSISIONAL
Lambang-lambang proposisi tertentu, baik proposisi tuunggal maupun majemuk, biasanya menggunakan “variabel proposisional” yaitu p, q, atau r dan seterusnya, misalnya :
Proposisi Tunggal:
q: Saya tidak tinggal di Bandung……………………. (1)
p: Saya kuliah di UI…………………………………... (2)
Proposisi Majemuk :
Saya kuliah di UI atau saya tinggal di Bandung…….. (3)
Saya kuliah di UI dan saya tinggal di Bandung……… (4)
Pernyataan majemuk (3) dan (4) masing-masing dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut :
(3) p atau q
(4) p dan q
Kata “atau” dan “dan” yang menghubungkan p dan q disebut kata “perekat” atau kata hubung. Kata perekat tersebut merupakan operator proposisional dalam logika. Ada lima operator proposisional.
Perhatikan tabel berikut :
No. urut OPERATOR Arti dalam Bahasa Sehari-hari
Nama Lambang
1. Negasi ~ Tidak, bukan, dan sebagainya
2. Konjungsi ˄ Dan, tetapi, meskipun, walaupun, dan sebagainya
3. Disjungsi ˅ Atau
4. Implikasi/Kondisi → Jika…. Maka…
5. Biimplikasi ↔ Jika dan hanya jika…. Maka..
INGKARAN ATAU NEGASI SUATU PERNYATAAN
Jika p adalah suatu pernyataan maka ingkaranya dinotasikan sebagai ~p atau –p atau p ̅. Apabila pernyataan p bernilai benar, maka pernyataan ~p bernilai salah. Sebaliknya bila pernyataan p bernilai salah, maka pernyataan ~p bernilai benar.
Contoh 8:
p: Putri memakai baju putih
~p: tidak benar bahwa putri memakai baju putih, atau
~p: Putri tidak memakai baju putih
Nilai kebenaran pernyataan p tergantung realitas, jika p bernilai benar, maka ~p bernilai salah atau sebaliknya.
q: 3 + 2 = 7……………………………………. (S)
~q: 3 + 2 ≠ 7………………………………….... (B)
r: 5 + 6 ≥ 10…………………………………… (B)
~r: 5 + 6 < 10………………………………….. (S)
Definisi :ingkaran atau negasi suatu pernyataan p adalah pernyataan ~p yang bernilai benar jika p bernilai salah dan bernilai salah jika p bernilai benar.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan tabel kebenaran berikut ini.
P ~p
B S
S B
KONJUNGSI
Nilai dan Tabel Kebenaran Konjungsi
Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung dan. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam bentuk p ˄ q disebut konjungsi dan dibaca p dan q.
Pernyataan p ˄ q disebut juga sebagai pernyataan konjungsi dan masing-masing p serta q disebut komponen (subpernyataan). Kata perakit “dan” sering kali berarti “kemudian, lantas, lalu”. Konjungsi mempunyai sifat simetrik. Jadi, p ˄ q ≡q ˄ p. “Ia masuk sekolah, meskipun sakit” tidak berbeda kebenarannya dengan “Ia sakit, meskipun masuk sekolah”.
Definisi :konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua komponennya bernilai benar.
Nilai kebenaran konjungsi disajikan dalam tabel kebenaran disamping.
P q p(x) ˄ q
B B B
B S B
S B S
S S S
Contoh 9:
p: Bung Hatta lahir di Sumatra Barat……………. (B)
q: Bung Hatta meninggal di Jakarta……………... (B)
p ˄ q: Bung Hatta lahir di Sumatra Barat dan
meninggal di Jakarta……………………… (B)
Contoh 10:
p: Bung Hatta lahir di Sumatra Barat……………. (B)
q: Bung Hatta meninggal di Padang……………... (S)
p ˄ q: Bung Hatta lahir di Sumatra Barat dan
meninggal di Padang……………………… (S)
Contoh 11:
p: Bung Hatta lahir bukan di Sumatra Barat…… (S)
q: Bung Hatta meninggal di Jakarta……………... (B)
p ˄ q:Bung Hatta lahir bukan di Sumatra Barat
dan meninggal di Jakarta…………………. (S)
Contoh 12:
p: Bung Hatta lahir di Jakarta…………………… (S)
q: Bung Hatta meninggal di Bogor……………… (S)
p ˄ q:Bung Hatta lahir di Jakarta dan
meninggal di Bogor………………………. (S)
Lambang ˄ digunakan untuk mendefinisikan irisan dua himpunan.
A ∩ B = {x | x ∈ A ˄ x ∈ B}
Kata-kata yang membentuk konjungsi selain dan adalah meskipun, tetapi, sedangkan, padahal, sambil, yang, juga, walaupun dan lain-lain.
Menentukan Nilai Kebenaran Kalimat p(x) ˄ q
Apabila p(x) suatu kalimat terrbuka dan q suatu pernyataan maka dapat ditentukan nilai kebenaran kalimat p(x) ˄ q.
Contoh 13:
Tentukan nilai x agar kalimat “(2x + 1 = 11) ˄ 5 adalah bilangan prima” bernilai :
benar b. salah
jawab :
p(x) : 2x + 1 = 11
q : 5 adalah bilangan prima……………………. (B)
agar kalimat p(x) ˄ q bernilai benar maka p(x) harus benar.
p(x) : 2x + 1 = 11
2x = 10 → x = 5
Untuk x = 5 maka p(x) : 2x + 1 = 11 bernilai benar, sehingga p(x) ˄ q bernilai salah.
X p(x) q p(x) ˄ q
x = 5 B B B
x ≠ 5 S B S
DISJUNGSI
Nilai dan Tabel Kebenaran Disjungsi
Jika pernyataan p dan q dihubungan dengan kata hubung atau maka pernyataan p atau q disebut disjungsi, yang dinotasikan sebagai p ˅ q (baca p atau q). yang perlu diperhatikan bahwa kata “atau” itu tidak selalu sama artinya. Seperti contoh proposisi berikut ini :
“ Yasir membeli buku tulis atau pensil”
Disjungsi di atas dapat diartikan sebagai berikut :
Yasir tidak hanya membeli salah satu, akan tetapi mungkin membeli kedua-duanya. Artinya, tidak hanya salah satu mesti benar, akan tetapi juga kedua-duanya benar. Disjungsi seperti pengertian ini disebut disjungsi inklusif. Dengan notasi p ˅ q.
Yasir membeli buku tulis dan tidak membeli pensil, atau ia tidak membeli buku tulis, tetapi pensil. Artinya, salah satu mesti benar, disebut disjungsi eksklusif. Dengan notasi p ▁(˅) q. sifat eksklusif ini dalam bahasa sering ditegaskan dengan menggunakan kata-kata “salah satu” : “Yasir membeli buku tulis atau pensil, salah satu”.
Disjungsi inklusif menyatakan komponen yang lain dapat benar dapat juga salah. Jadi, p ˅ q berarti p saja, q saja, atau p dan q benar. Disjungsi eksklusif dengan tegas menyatakan anggota yang lain pasti salah. Jadi, p ▁(˅) q≡ (p ˅ q) ˄ (~p ˅ ~q).
Definisi :
Disjungsi Inklusif dua pernyataan p dan q, yaitu p ˅ q bernilai benar jika salah satu atau kedua dari pernyataan p dan q bernilai benra.
p: Citra belajar Matematika
q: Citra belajar Bahasa Indonesia
P q p ˅ q
B B B
B S B
S B B
S S S
Disjungsi eksklusif dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika salah satu dari pernyataan p dan q bernilai benar.
P q p ▁(˅) q ≡ (p ˅ q) ˄ (~p ˅ ~q)
B B S B S S
B S B B B B
S B B B B B
S S S S S B
SBBS SBBS
IMPLIKASI
Nilai dan Tabel Kebenaran Implikasi
Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “jika p maka q” disebut implikasi/kondisional/pernyataan bersyarat dan dilambangkan sebagai p → q. sedangkan pernyataan p → q disebut pernyataan implikasi/kondisional.
p → q dibaca : jika p maka q: p hanya jika q: q jika p berimplikasi q; q asal saja p.
pernyataan p disebut anteseden/hipotesa/sebab dan q disebut konsekuen/konklusi/akibat.
q merupakan syarat perlu bagi p: dan p merupakan syarat cukup bagi q.
bermakna bahwa “tidak benar bahwa p terjadi tetapi q tidak terjadi”. Ditulis dengan lambang ~(p ˄ ~q).
Definisi : Implikasidua pernyataan p → q bernilai salah hanya jika p bernilai benar disertai q bernilai salah.
Tabel kebenaran implikasi
P q p → q ≡ ~(p ˄ ~q)
B B B B S
B S S S B
S B B B S
S S B B B
Contoh 14:
jika 9 adalah bilangan prima, maka hari ini akan hujan.
Jika saya memilih jurusan IPA, maka nilai rata-rata bidang studi MIPA sekurang-kurangnya 8.
Macam-macam implikasi :
Implikasi logis : konsekuen secara logis dapat disimpulkan dari anteseden.
Jika semua bilangan bulat adalah rasional, maka 5 adalah bilangan rasional.
Kalau semua manusia bisa sedih, maka saya pun bisa sedih.
Implikasi definisional : konsekuen pada implikasi ini dapat disimpulkan dari antaseden, yaitu mengacu pada suatu definisi yang berlaku.
Jika bangun geometri ABCD adalah persegi, maka sisi-sisi yang sehadap adalah sejajar dan sama panjang.
Kalau Yusuf seorang purnawirawan, maka ia pernah jadi anggota salah satu angkatan (TNI atau POLRI).
Implikasi empirik atau kausal : implikasi yang diketahui berdasarkan pengamatan empirik. Implikasi ini banyak terdapat dalam ilmu pengetahuan.
Kalau panas air mencapai 100°C, maka air mendidih. Konsekuen: “air mendidih” hanya dapat diketahui melalui pengamatan empirik.
Implikasi intensional atau desisional. Misalnya seorang anak (siswa SMA) berkata kepada orang tuanya: “kalau ayah tidak membelikan motor, maka saya akan berhenti sekolah! “Konsekuen: “berhenti sekolah” merupakan keputusan sang anak.
BIIMPLIKASI (BIKONDISIONAL)
Nilai dan Tabel Kebenaran Biimplikasi
Dua pernyataan p dan q jika dinyatakan dengan lambang p ↔ q disebut biimplikasi bikondisional atau pernyataan bersyarat ganda). Notasi pernyataan p ↔ q yang mengandung makna bahwa p → q benar dan juga q→p benar.
Definisi : biimplikasi dua pernyataan p dan q, yaitup ↔ q bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Tabel kebenaran biimplikasi
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN
Dua pernyataan majemuk p dan q dikatakan ekuivalen dan ditulis p ≡qjika dan hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Sifat-sifat pernyataan ekuivalen (equivalensi logis) adalah :
p ≡p
jika p ≡qmaka q≡p
jika p ≡q dan q ≡rmaka p ≡r
Contoh 15:
Tunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa :
p → (q → r) ekuivalen dengan (p ˄ q) → r.
jawab :
harus tunjukkan bahwa (p → (q → r) ≡(p ˄ q) → r)
p q R q → r p → (q → r) (p ˄ q) (p ˄ q) → r
B B B B B B B
B B S S S B S
B S B B B S B
B S S B B S B
S B B B B S B
S B S S B S B
S S B B B S B
S S S B B S B
NEGASI (INGKARAN) PERNYATAAN MAJEMUK
Pada bagian awal pelajaran logika kita telah mengetahui bahwa ingkaran dari pernyataan p adalah ~p.
p ~p
B S
S B
Contoh 16:
Ingkaran dari 5 < 8 adalah 5 ≥ 8
Ingkaran dari 2 + 3 ≠ 5 adalah 2 + 3 = 5
KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Definisi :
Konvers dari implikasi p → q adalah q → p
Invers dari implikasi p → q adalah ~p → ~q
Kontraposisi dari implikasi p → q adalah ~q → ~p
Contoh 17:
Buatlah konvers, invers, kontraposisi, dan ingkaran dari implikasi “jika hari hujan, maka matahari tidak bersinar”.
Jawab :
p : hari hujan
q: matahari bersinar
maka ~q: matahari tidak bersinar
sehingga implikasi semula adalah p → ~q
Implikasi Konvers Invers Kontraposisi Ingkaran
p → ~q ~q → p ~p → q q → ~p p ˄ q
PERNYATAAN BERKUANTOR
Kuantor adalah suatu lambang yang menunjukan generalisasi suatu kalimat terbuka. Ada dua macam kuantor, yaitu Kuantor eksistensial dan kuantor universal.
Kuantor Eksistensial
Kuantor sebagian (beberapa, ada) merupakan suatu pernyataan yang menggambarkan bahwa beberapa yang tidak seharusnya setiap objek atau masalah memenuhi syarat tertentu.
Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃x dibaca “ada suatu x sehingga berlaku….”. jika P(x) adalah suatu kalimat terbuka, maka (∃x) P(x).
Contoh 18:
Benar atau salahnya pernyataan berkuantor
(∃x∈R)(2x + 1 > 5).
Jawab :
(∃x)(2x + 1 > 5) mempunyai arti “ ada suatu x sehingga berlaku 2x + 1 > 5. Jelas ini merupakan pernyataan yang benar, karena kita dapat menemukan x yang memenuhi pertidaksamaan 2x + 1 > 5, misalnya x = 3.
Kuantor Universal
Kuantor “semua” merupakan suatu persyaratan yang menggambarkan bahwa setiap objek atau masalah memenuhi syarat tertentu.
Kuantor universal dilambangkan dengan ∀x dibaca “ untuk semua x atau untuk setiap x berlaku…..”. jika P(x) adalah suatu kalimat terbuka, maka (∀x)P(x).
Contoh 19:
Benar atau salahkah pernyataan berkuantor
(∀x)(2x+1>5).
Jawab :
(∀x)(2x+1>5) mempunyai arti “untuk semua x berlaku 2x + 1 > 5”. Jelas ini merupakan pernyataan yang salah, karena kita dapat menemukan x yang tidak memenuhi pertidaksamaan 2x + 1 > 5, misalnya x = 1.
Ingkaran suatu Pernyataan Berkuantor
Ingkaran Kuantor Universal
Misalkan ada pernyataan :
p: semua bilangan prima adalah ganjil.
Jika kita dapat menemukan paling sedikit 1 bilangan prima yang tidak ganjil, maka pernyataan p di atas salah. Dengan demikian, ingkaran dari semua x bersifat A, adalah
‘ ada (paling sedikit satu) x tidak bersifat A’.
Jadi, ingkaran dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial. Secara simbolik dapat ditulis: ~[(∀x) P(x)]=(∃x)[~P(x)]
Ingkaran Kuantor Eksistensi
Karena ingkaran kuantor universal adalah kuantor eksistensial, maka ingkaran kuantor eksistensial adalah kuantor universal.
Sebagai contoh, pernyataan : ‘ada siswa kelas x yang tidak masuk sekolah’ dapat dipatahkan (diingkar) dengan pernyataan ‘semua siswa kelas x masuk sekolah’.
Secara simbolik dapat ditulis: ~[(∃x) P(x)]=(∀x)[~P(x)]
PENARIKAN KESIMPULAN
Pada umumnya penarikan kesimpulan suatu argumen dimulai dari ditentukannya himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang saling berelasi, dan telah diketahui kebenarannya, kemudian dapat diturunkan suatu pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk.
Himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang ditentukan (diketahui) disebut premis. Pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang diturunkan dari premis-premiss disebut kesimpulan (konklusi). Kumpulan satu atau lebih premis yang sudah dibuktikan kebenarannya dan satu konklusi yang diturunkan dari premis-premisnya disebut argumen.
Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika dapat dibuktikan bahwa argumen itu merupakan suatu tautologi untuk semua nilai kebenaran premis-premisnya. Metode yang sederhana untuk membuktikan suatu argumen yang sah (valid) adalah dengan bantuan tabel kebenaran.
Pola penarikan kesimpulan disajikan dengan bentuk.
Premis (1) p1
Premis (2) p2
Premis (3) p3
………... …
(premis (n))/(∴Klonklusi) p_n/(∴k)
(p1 ˄ p2 ˄ p3 … ˄ pn) → k merupakan tautologi. Tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar.
Berbagai pola penarikan kesimpulan yang sah akan disajikan dibawah ini :
Modus Ponens
Bentuk argumen Modus Ponens adalah :
Premis 1 : p → q (suatu pernyaataan yang benar), dan
(premis 2∶p (suatu pernyataan yang benar))/(konklusi∶q (suatu pernyataan yang benar))
Modus Tolens
Bentuk argumen modus tolens sebagai berikut:
Premis 1 : p → q(benar)
(premis 2∶~q (benar))/(Konklusi∶~p (benar))
Silogisme
Premis 1 : p → q(benar)
(premis 2∶q→r (benar))/(Konklusi∶p →r (benar))
Silogisme
Premis 1 : p ˅ q(B)
(premis 2 ∶~q (B))/(Konklusi ∶p (B))
Dilema Konstruktif (kombinasi dua argumen modus ponens)
Premis 1 : (p → q) ˄ (r → s) (B)
Premis 2 : p ˅ r (B)
Konklusi : q ˅ s (B)
Dilema Destruktif (kombinasi dua argumen modus tolens)
Premis 1 : (p → q) ˄ (r → s) (B)
Premis 2 : ~q ˅ ~s (B)
Konklusi : ~p ˅ r (B)
Konjunngsi
premis 1 : p (B)
premis 2 : q (B)
konklusi : p ˄ q (B)
Penambahan (Addition)
Premis 1 : p (B)
Konklusi : p ˅ q (B)
BUKTI DALAM MATEMATIKA
Bukti Tak Langsung
Membuktikan kebenaran dengan memperhatikan bahwa kebenaran ini adalah akibat pernyataan lain yang telah diterima sebagai hal yang benar (definisi, aksioma, dan asumsi lainnya) dari dalil yang telah dibuktikan.
Sebagai contoh buktikan bahwa :
a2 + b2 = (a+b)2 – 2ab
bukti ;
a2 + b2 = a2 + 2ab + b2 – 2ab (2ab – 2ab = 0)
= (a+b)2 = 2ab (perngkuadratan)
Induksi Matematika
Jika kita akan menjumlahkan bilangan ganjil berikut ini :
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … sampai dengan 100 suku, maka untuk mempermudah perhitungan, kita buat pola sebagai berikut :
S1 = 1 = 1 = 12
S2 = 1 + 3 = 4 = 22
S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32
S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
Secara umum akan diperoleh kesimpulan bahwa Sn = n2 sehingga 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n2.
BAB III
PENUTUP
